Wprowadzenie do upraszczania wyrażeń wymiernych (artykuł) | Khan Academy (2024)

Wyrażenie wymierne to stosunek dwóch wielomianów. Dziedziną wyrażenia wymiernego są wszystkie liczby rzeczywiste, poza tymi dla których mianownik wynosi zero.

Na przykład dziedzina wyrażenia wymiernego ${\displaystyle \frac{x+2}{x+1}}$‍ to wszystkie liczby rzeczywiste oprócz $\mathit{\text{-1}}$‍, czyli $x\ne -1$‍.

W tym artykule nauczysz się upraszczać wyrażenia wymierne na paru przykładach.

Wyrażenie wymierne uważa się za uproszczone, jeśli licznik i mianownik nie mają wspólnych czynników.

Możemy uprościć wyrażenia wymierne w taki sam sposób w jaki upraszczamy ułamki.

Na przykład, uproszczona wersja ${\displaystyle \frac{6}{8}}$‍ to ${\displaystyle \frac{3}{4}}$‍. Zauważ, że uprościliśmy wspólny czynnik $2$‍ z licznika i mianownika ułamka:

łóżóćóść$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle \frac{6}{8}}& ={\displaystyle \frac{2\cdot 3}{2\cdot 4}}& & \text{Rozłóż na czynniki}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{\cancel{2}\cdot 3}{\cancel{2}\cdot 4}}& & \text{Skróć wspólny czynnik}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{3}{4}}& & \text{Uprość}\end{array}$‍

Krok 1: Rozłóż licznik i mianownik na czynniki

Jedynym sposobem żeby sprawdzić czy licznik i mianownik mają wspólne czynniki jest rozłożyć je!

${\displaystyle \frac{x^2+3x}{x^2+5x}}={\displaystyle \frac{x(x+3)}{x(x+5)}}$‍

Krok 2: Lista wartości wyłączonych z dziedziny

W tym momencie warto spojrzeć na ograniczenia zmiennej $x$‍, które będą ważne także dla uproszczonego wyrażenia.

Ponieważ dzielenie przez $0$‍ jest nieokreślone, widzimy tutaj, że $x\ne 0$‍ i $x\ne -5$‍.

${\displaystyle \frac{x(x+3)}{x(x+5)}}$‍

Krok 3: Skróć wspólne czynniki

Zauważ, że licznik i mianownik mają wspólny czynnik $x$‍. Można go skrócić.

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{x(x+3)}{x(x+5)}}& ={\displaystyle \frac{\cancel{x}(x+3)}{\cancel{x}(x+5)}}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{x+3}{x+5}}\end{array}$‍

Krok 4: Ostateczna odpowiedź

Pamiętaj, że pierwotne wyrażenie zostało zdefiniowane dla $x\ne 0,-5$‍. Uproszczone wyrażenie musi mieć takie same ograniczenia.

Oryginalne wyrażenie ma warunek $x\ne 0$‍. Nie musimy zapisywać, że $x\ne -5$‍, bo wynika to z wyrażenia.

Początkowe wyrażenie:

${\displaystyle \frac{x^2+3x}{x^2+5x}}={\displaystyle \frac{x(x+3)}{x(x+5)}}$‍

Uproszczone wyrażenie:

${\displaystyle \frac{x+3}{x+5}}$‍

Zauważ, że $x=-5$‍ powoduje, że oba mianowniki są równe $0$‍, więc nie jest to prawidłowa wartość wejściowa. Wynika jednakże z obu wyrażeń.

Ale dla uproszczonego wyrażenia nie wskazaliśmy $x\ne 0$‍, więc $x=0$‍ będzie prawidłowym argumentem, ponieważ ${\displaystyle \frac{0+3}{0+5}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$‍.

Wyrażenie obliczone dla $x=0$‍ powinno być nieokreślone (zobacz początkowe wyrażenie), więc musimy wyłączyć tą wartość z dziedziny.

Podsumowując, uproszczona forma jest zapisana w następujący sposób:

${\displaystyle \frac{x+3}{x+5}}$‍ for $x\ne 0$‍

Dwa powyższe wyrażenia są równoważne. Oznacza to, że ich wartości wyjściowe są takie same dla wszystkich możliwych wartości $x$‍. Tabela poniżej przedstawia to dla $x=2$‍.

Z tego powodu dwa wyrażenia mają taką samą wartość argumentu. Jednakże wartości, które powodują, że oryginalne wyrażenie będzie nieokreślone, często łamią tą regułę. Zauważ, że dzieje się tak w przypadku $x=0$‍.

Ponieważ dwa wyrażenia muszą być równoważne dla wszystkich możliwych argumentów, musimy postawić warunek $x\ne 0$‍ dla uproszczonego wyrażenia.

Zauważ, że nie możemy wyrzucić $x$‍ z poniższego wyrażenia. Jest tak, ponieważ są to wyrazy w wyrażeniu, a nie czynniki wielomianów!

${\displaystyle \frac{x+3}{x+5}}\ne$‍ ${\displaystyle \frac{3}{5}}$‍

Staje się to jasne kiedy spojrzymy na przykład liczbowy. Na przykład załóżmy, że $x=2$‍.

${\displaystyle \frac{2+3}{2+5}}\ne$‍${\displaystyle \frac{3}{5}}$‍

Regułą jest, że możemy skracać tylko jeśli licznik i mianownik mają postać iloczynową!

• Krok 1: Rozłóż na czynniki licznik i mianownik.
• Krok 2: Wypisz wartości wyłączone z dziedziny.
• Krok 3: Skróć wspólne czynniki.
• Krok 4: Uprość i zapisz jakiekolwiek wartości wyłączone z dziedziny nie wynikające z wyrażenia.

Krok 1: Rozłóż licznik i mianownik na czynniki

${\displaystyle \frac{x^2-9}{x^2+5x+6}}={\displaystyle \frac{(x-3)(x+3)}{(x+2)(x+3)}}$‍

Krok 2: Lista wartości wyłączonych z dziedziny

Ponieważ dzielenie przez $0$‍ jest nieokreślone, widzimy tutaj, że $x\ne -2$‍ i $x\ne -3$‍.

${\displaystyle \frac{(x-3)(x+3)}{(x+2)(x+3)}}$‍

Krok 3: Skróć wspólne czynniki

Zauważ, że licznik i mianownik mają wspólny czynnik $x+3$‍. Można go skrócić.

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{(x-3)(x+3)}{(x+2)(x+3)}}& ={\displaystyle \frac{(x-3)\cancel{(x+3)}}{(x+2)\cancel{(x+3)}}}\\ \\ & ={\displaystyle \frac{x-3}{x+2}}\end{array}$‍

Krok 4: Ostateczna odpowiedź

Wyrażenie w uproszczonej postaci zapisujemy w następujący sposób:

${\displaystyle \frac{x-3}{x+2}}$‍ dla $x\ne -3$‍

Oryginalne wyrażenie ma warunek $x\ne -2,-3$‍. Nie musimy zapisywać, że $x\ne -2$‍, bo wynika to z wyrażenia.