Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania. (2024)

Obliczenie wartości liczbowej wyrażenia algebraicznego polega na podstawieniu danych liczb wmiejsce liter iwykonaniu wskazanych działań.
Wprzypadku równań także można podstawiać liczby wmiejsce niewiadomych. Otrzymywane wówczas równości liczbowe mogą być prawdziwe lub fałszywe.

Przykład1

R1ZGzQA5pGYGN1

Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania. (1)

Liczba spełniająca dane równanie

Definicja: Liczba spełniająca dane równanie

Liczba spełnia dane równanie, jeżeli po podstawieniu jej wmiejsce niewiadomej iwykonaniu działań po obu stronach równania, otrzymamy prawdziwą równość liczbową.

Rozwiązanie równania

Definicja: Rozwiązanie równania

Liczbę, która spełnia dane równanie nazywamy rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania.

Równania równoważne

Definicja: Równania równoważne

Mówimy, że równania ztymi samymi niewiadomymi są równoważne wtedy itylko wtedy, gdy posiadają taki sam zbiór rozwiązań.

Przykład2

RupkdiwdEiADH1

Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania. (2)

Zapamiętaj!

Rozwiązać równanie – to znaczy znaleźć wszystkie liczby, które spełniają to równanie lub wykazać, że równanie to nie ma rozwiązania. Wtym celu przekształcamy równanie równoważnie, pamiętając otym, że

do obu stron równania możemy dodać lub od obu stron równania odjąć tę samą liczbę lub wyrażenie,
obie strony równania możemy pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera.

Przykład3

R1c9pRjO0d98i1

Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania. (3)

Przykład4

R4Hvdj1eDHbUV1

Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania. (4)

Zapamiętaj!

Dodawanie lub odejmowanie od obu stron równania tego samego wyrażenia inaczej można nazwać przenoszeniem tego wyrażenia zprzeciwnym znakiem na drugą stronę równania.
Np. aby rozwiązać równanie: $2 x - 5 = x + 1,$ przenosimy zprzeciwnym znakiem

$x$ na lewą stronę równania

$2 x - x - 5 = 1$

$- 5$ na prawą stronę równania

$2 x - x = 1 + 5$

$x = 6$

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest liczba $6$ .

RJ89HTmugtbOP1

Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania. (5)

i6rXaDAENV_d5e553

Równania zjedną niewiadomą mogą mieć skończoną liczbę rozwiązań, np. jedno, dwa, trzy, cztery. Są również takie równania, które nie mają rozwiązania lub mają nieskończenie wiele rozwiązań.

Zbiór rozwiązań równania

Definicja: Zbiór rozwiązań równania

Zbiór wszystkich liczb spełniających dane równanie nazywamy zbiorem rozwiązań równania.

Przykład5

Rozwiąż równania

$x^{2} = 25$
Rozwiązanie: $x = 5, x = - 5$
$x^{3} = 0$
Rozwiązanie: $x = 0$
$x^{2} = - 4$
Rozwiązanie: brak rozwiązania

Przykład6

Znajdź pierwiastek rozwiązania.

$2 a + b = 5$
Pierwiastek rozwiązania: np.: $a = 1, b = 3$
See Also
The "Minus Sign (−)" Symbol in Mathematics Wprowadzenie do upraszczania wyrażeń wymiernych (artykuł) | Khan Academy Równania i nierówności liczbowe. Przedziały liczbowe
$x^{2} + y^{2} = 0$
Pierwiastek rozwiązania: $a = 0, b = 0$

Przykład7

Równania, które nie mają rozwiązania:

$x + 2 = x$ , $x^{2} = - 25$

Równania, które mają nieskończenie wiele rozwiązań:

$2 x - 2 x + 2 x = 2 x$ , $0 ∙ x = 0$

Równanie sprzeczne

Definicja: Równanie sprzeczne

Równanie, które nie ma rozwiązania nazywamy równaniem sprzecznym.

Równanie tożsamościowe

Definicja: Równanie tożsamościowe

Równanie, które jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą nazywamy równaniem tożsamościowym.

Ważne!

Liczba rozwiązań równania.
Równanie pierwszego stopnia zjedną niewiadomą może:

nie mieć rozwiązania,
mieć dokładnie jedno rozwiązanie,
mieć nieskończenie wiele rozwiązań.

i6rXaDAENV_d5e843

Ćwiczenie1

RqYHozV72SiRA1

Zadanie interaktywne

Połącz równanie zjego rozwiązaniem.

$1$
$- 1$
$2$
$- 2$
$\frac{1}{2}$
$- \frac{1}{2}$
$1 \frac{1}{2}$
$- 1 \frac{1}{2}$

classicmobile

Ćwiczenie2

Liczbą spełniającą równanie $2 (x - 1) + 2 = 4 x + 14$ jest

RmbIWTF3hm1QW

$- 7$
$7$
$6 \frac{1}{2}$
$\frac{1}{7}$

static

classicmobile

Ćwiczenie3

Liczbą spełniającą równanie $x (x + 1) (x^{2} + 1) = 3 x^{2} + 1$ jest

R14zaTWS9uYVe

$- 1$
$1$
$2$
$- \frac{1}{3}$

static

classicmobile

Ćwiczenie4

Sprawdź, czy podana liczba jest rozwiązaniem danego równania.

R1GNYc6uxBdIY

$- 3 (x + 2) + 4 = 6 - x,$ $x = - 4$
$- (- 8 x + 7) = 4 (x + 3) - 3,$ $x = 4$
$2 (x - 2) - 3 (x + 2) = 4 (x - 4),$ $x = - 1$
$\frac{1}{2} x - \frac{2 - x}{3} = x - \frac{1}{6},$ $x = 3$
$(2 x - \frac{1}{2}) (3 x - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + x (4 x - \frac{1}{2}),$ $x = 1$

static

classicmobile

Ćwiczenie5

Sprawdź, które równania są spełnione przez liczbę $- \frac{2}{3}$ .

Ru7SxUQIGOmf1

$2 (3 x + 1) = - 1 + 4 x$
$1 + x = \frac{x + 2}{4}$
$6 x (x + 1) = - 4 (\frac{1}{2} x + \frac{2}{3})$

static

Ćwiczenie6

R1C4TgGioRgZN1

Zadanie interaktywne

Przeciągnij elementy zdolnej sekcji do górnej.

2x−1=2x+1, 0∙x=13, −2(4−x)=2x−8,, −x+4=−x, <math><mn>0</mn><mo>·</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math>, x+3=3, <math><mn>5</mn><mo>·</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>5</mn></math>, <math><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>64</mn></math>, <math><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>16</mn></math>, x=x, 2x+3=3+2x, <math><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>0</mn></math>

Brak rozwiązań
Jedno rozwiązanie
Nieskończenie wiele rozwiązań

classicmobile

Ćwiczenie7

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1E2MAulNkcri

Równanie $x^{2} = 0$ ma dwa rozwiązania.
Równanie $2 x^{2} + 3 = 0$ jest równaniem sprzecznym.
Równanie $x^{2} - 3 = 1$ jest równaniem sprzecznym.
Równanie $\frac{13}{x} = 0$ jest równaniem sprzecznym.
Równanie $x^{2} = 81$ ma jedno rozwiązanie.
Równanie $2 x^{2} + 3 = 3 + 2 x^{2}$ jest równaniem tożsamościowym.
Równanie $x^{2} = 0$ jest równaniem sprzecznym.
Równanie $a + 17 = 2 a + 17 - a$ jest równaniem tożsamościowym.
Równanie $x - 2 = 2 - x$ jest równaniem sprzecznym.
Równanie $x = x + 11$ jest równaniem tożsamościowym.

static

classicmobile

Ćwiczenie8

Które zpodanych równań jest sprzeczne?

R1JRrmZivI4aJ

$3 x - 1 = 3 x + 1$
$x - 10 = 10 - x$
$x^{2} + 2 = 0$
$2 x = - 2 x + 1$
$x + 4 = x$
$x + 9 = x + 9$

static

classicmobile

Ćwiczenie9

Które zpodanych równań jest sprzeczne?

R1Moj9BPmaoek

$- 6 x + 6 = - 6 x$
$x + x - 1 = 2 x - 1$
$x - 10 = x + 10$
$0 ∙ y = - 1$
$2 (x - 1) = 2 x - 1$

static

classicmobile

Ćwiczenie10

Które zpodanych równań są tożsamościowe?

RcejPGdhMxvFr

$2 x = 2 x$
$- (x - 7) = - x - 7$
$0 ∙ x = 0$
$4 (x + 2) = 4 x + 2$
$x^{2} + 1 = 1 + x^{2}$
$x + 6 = 6$
$- (x - 7) = 7 - x$
$x - 4 = 4 - x$
$4 (x + 2) = 4 x + 8$

static

i6rXaDAENV_d5e1404

Ćwiczenie11

R138XECs9A5CZ1

Zadanie interaktywne

Ćwiczenie12

RmtgHmIR61xht1

Zadanie interaktywne

Jaki jednomian należy wpisać, aby otrzymane równanie było sprzeczne? Przeciągnij iupuść.

x, -x, 9x, -2x, -3x, 6x

6x= ............ +1
4x+ ............ = x+ $\frac{1}{2}$
−4x+ ............ =−5x−5
2(x−3)=x+ ............
3( ............ −4)=−6x
2x−(6-7x)=2+ ............

Ćwiczenie13

RqSzjXIaKXNOi1

Zadanie interaktywne

Jaki jednomian należy wpisać, aby otrzymane równanie było tożsamościowe? Przeciągnij iupuść.

7x, 5x, −4x, 2x, $\frac{1}{4}$ x

3x=7x+ ............
12x−5x= ............
4(x− ............ )=3x
−x+6x−8= ............ −1−7
−5( ............ $- 1 \frac{3}{5}$ x)=−3x+x

Ćwiczenie14

Wstaw takie wyrażenie algebraiczne wmiejsce $\dots$ , aby równanie $3 x - 1 = x + \dots$

miało jedno rozwiązanie
nie miało rozwiązania
miało nieskończenie wiele rozwiązań

Ćwiczenie15

Podaj wszystkie liczby, które spełniają równanie.

$a^{3} = - 8$
$z^{2} = 100$
$x^{3} = 64$
$x^{2} (x - 3) = 0$
$(x^{2} - 9) (x^{2} - 25) = 0$
$x (2 x - 4) (x + 5) = 0$
$(y^{3} - 1) (y^{3} - 27) = 0$

Ćwiczenie16

Uzasadnij, że równanie $|x| = x$ nie jest równaniem tożsamościowym. Ile rozwiązań ma to równanie?

Rozwiązanie równania. Liczba rozwiązań równania. (2024)

References